\section{消 元 法}


\begin{frame}{消 元 法}
现在来讨论一般线性方程组。所谓一般线性方程组是指形式为
\begin{equation}\label{014}
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s}
\end{array}\right.
\end{equation}
的方程组， 其中 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 代表 $n$ 个未知量， $s$ 是方程的个数， $a_{i j}$ ($i=1,2, \cdots, s, j=1,2, \cdots, n$) 称为\emph{方程组的系数}， $b_{j}$ ($j=1,2, \cdots, s$) 称为\emph{常数项}。 
\pause
方程组中未知量的个数 $n$ 与方程的个数 $s$ 不一定相等。 系数 $a_{i j}$ 的第一个指标 $i$ 表示它在第 $i$ 个方程，第二个指标 $j$ 表示它是 $x_{j}$ 的系数。

\pause
所谓方程组 (1) 的一个\emph{解}， 就是指由 $n$ 个数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 组成的有序数组 $\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)$, 当 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 分别用 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 代入后，
(1) 中每个等式都变成恒等式。
\pause
方程组 (1) 的解的全体称为它的\emph{解集}。 
解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集。
\pause
如果两个方程组有相同的解集，它们就称为\emph{同解的}。
\end{frame}

\begin{frame}

显然， 如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项， 那么这个线性方程组就基本上确定了。 确切地说， 线性方程组 (1) 可以用矩阵
\begin{equation}
  \left(\begin{array}{ccccc}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} & b_{s}
\end{array}\right)
\end{equation}
来表示。 
\pause
实际上， 有了 (2)之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组 (1) 就确定了， 而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。 在中学所学代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。 实际上， 这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
\pause
下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。先看一个例子。

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
解方程组
\[
  \left\{\begin{array}{l}
        2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1 \\
        4 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}=4 \\
      2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=5
\end{array}\right.
\]
\pause
第二个方程减去第一个方程的 $2$ 倍，第三个方程减去第一个方程， 
\pause
就变成
\[
  \left\{\begin{aligned}
        2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =1 \\
        4 x_{2}-x_{3} & =2, \\
      2 x_{2}-x_{3} & =4 .
\end{aligned}\right.
\]
\pause
第二个方程减去第三个方程的 $2$ 倍，把第二、第三两个方程的次序互换，
\pause
即得
\[
  \left\{\begin{aligned}
        2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =1 \\
        2 x_{2}-x_{3} & =4 \\
      x_{3} & =-6 .
\end{aligned}\right.
\]
\pause
这样， 我们可回代求出方程组的解为 $(x_1,x_2,x_3)=(9,-1,-6)$.
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
分析一下消元法， 不难看出， 它实际上是反复地对方程组进行变换， 而所作的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

\begin{enumerate}
    \item 用一非零的数乘某一方程;

      \item 把一个方程的倍数加到另一个方程;

        \item 互换两个方程的位置。
    \end{enumerate}

    \pause
  于是，我们给出

  \begin{definition}%定义1 
    变换 1,2,3 称为线性方程组的\emph{初等变换}。
\end{definition}


消元的过程就是反复施行初等变换的过程。
\pause
注意到初等变换的可逆性（用例子说明即可，讲矩阵一章时还会用矩阵的形式再说一遍），容易发现

\begin{lemma}\label{133}
  初等变换总是把方程组变成\emph{同解的方程组}。
\end{lemma}


\end{frame}
%下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。 我们只对第二种初等变换来证明。
%
%对方程组
%\[
%\left\{\begin{array}{c}
%a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \tag{1}\\
%a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s}
%\end{array}\right.
%\]
%进行第二种初等变换。 为简便起见， 不妨设把第二个方程的 $k$ 倍加到第一个方程， 得到新方程组
%\[
%\left\{\begin{array}{l}
%\left(a_{11}+k a_{21}\right) x_{1}+\left(a_{12}+k a_{22}\right) x_{2}+\cdots+\left(a_{1 n}+k a_{2 n}\right) x_{n}=b_{1}+k b_{2},  \tag{3}\\
%a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s} .
%\end{array}\right.
%\]
%现在设 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$ 是 (1) 的任一解。 因 (1) 与 (3) 的后 $s-1$ 个方程是一样的， 所以 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$ 满足 (3) 的后 $s-1$ 个方程。 又 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$ 满足 (1) 的前两个方程
%\[
%\begin{aligned}
%& a_{11} c_{1}+a_{12} c_{2}+\cdots+a_{1 n} c_{n}=b_{1}, \\
%& a_{21} c_{1}+a_{22} c_{2}+\cdots+a_{2 n} c_{n}=b_{2} .
%\end{aligned}
%\]
%把第二式的两边乘 $k$, 再与第一式相加， 即为
%\[
%\left(a_{11}+k a_{21}\right) c_{1}+\left(a_{12}+k a_{22}\right) c_{2}+\cdots+\left(a_{1 n}+k a_{2 n}\right) c_{n}=b_{1}+k b_{2} .
%\]
%故 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$ 又满足 (3) 的第一个方程， 因而是 (3) 的解。 类似地可证 (3) 的任一解也是 (1) 的解。 这就证明了 (1) 与 (3) 是同解的。
%
%对另外两种初等变换，证明由读者去做。


%下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组。
%
%对于方程组 (1), 首先检查 $x_{1}$ 的系数。 如果 $x_{1}$ 的系数 $a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{s 1}$ 全为零，那么方程组 (1) 对 $x_{1}$ 没有任何限制， $x_{1}$ 就可以取任意值，而方程组 (1) 可以看作 $x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的方程组来解。如果 $x_{1}$ 的系数不全为零，那么利用初等变换 3 ,可以设 $a_{11} \neq 0$. 利用初等变换 2 , 分别把第一个方程的 $-\frac{a_{i 1}}{a_{11}}$ 倍加到第 $i$ 个方程 $(i=2, \cdots, s)$. 于是方程组 (1) 就变成
%\[
%  \left\{\begin{align*}
%    & a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \tag{4}\\
%  & a_{22}^{\prime} x_{2}+\cdots+a_{2 n}^{\prime} x_{n}=b_{2}^{\prime}, \\
%& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
%& a_{s 2}^{\prime} x_{2}+\cdots+a_{s n}^{\prime} x_{n}=b_{s}^{\prime},
%\end{align*}\right.
%\]
%其中
%\[
%a_{i j}^{\prime}=a_{i j}-\frac{a_{i 1}}{a_{11}} a_{1 j}, \quad i=2, \cdots, s, j=2, \cdots, n .
%\]
%这样，解方程组 (1) 的问题就归结为解方程组
%\[
%  \left\{\begin{array}{c}
%    a_{22}^{\prime} x_{2}+\cdots+a_{2 n}^{\prime} x_{n}=b_{2}^{\prime}  \tag{5}\\
%  \cdots \cdots \cdots \cdots \\
%a_{s 2}^{\prime} x_{2}+\cdots+a_{s n}^{\prime} x_{n}=b_{s}^{\prime}
%\end{array}\right.
%\]
%的问题。显然， (5) 的一个解代入 (4) 的第一个方程就定出 $x_{1}$ 的值， 这就得出 (4) 的一个解; 而 (4) 的解显然都是 (5) 的解。 这就是说， 方程组 (4) 有解的充分必要条件为方程组 (5)有解， 而 (4) 与 (1) 是同解的， 因之， 方程组 (1) 有解的充分必要条件为方程组 (5) 有解。
%\end{frame}
%
%
%对 (5) 再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组。为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
%\[\tag{6}
%  \left\{
%    \begin{array}{rrrrrrl}
%      c_{11} x_1 & + c_{12}x_2 & +\cdots & +c_{1r}x_r & + \cdots & +c_{1n}x_n &= d_1\\
%      & c_{22}x_2 & + \cdots & +c_{2r}x_r &+ \cdots & +c_{2n}x_n &= d_2,\\
%      & & & & & \cdots & \\
%      & & & c_{rr}x_r & + \cdots & +c_{rn}x_n &= d_r,\\
%      & & & & & 0& &= d_{r+1}, \\
%       & & & & & 0& &= d_{r+1}, \\     
%      & & & & & \cdots & \\
%      & & & & & 0& &= d_{r+1},
%  \end{array}\right.
%\]
%其中 $c_{i i} \neq 0, i=1,2, \cdots, r$. 方程组 (6) 中的 “ $0=0$ ” 这样一些恒等式可能不出现， 也可能出现，这时去掉它们也不影响 (6) 的解。而且 (1) 与 (6) 是同解的。
%
%现在考察 (6) 的解的情况。
%
%如 (6) 中有方程 $0=d_{r+1}$, 而 $d_{r+1} \neq 0$. 这时不管 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 取什么值都不能使它成为等式。故 (6) 无解，因而 (1) 无解。\\
%当 $d_{r+1}=0$ 或 (6) 中根本没有 “ $0=0$ ”的方程时，分两种情况：
%
%1. $r=n$. 这时阶梯形方程组为
%\[
%\left\{\begin{array}{r}
%c_{11} x_{1}+c_{12} x_{2}+\cdots+c_{1 n} x_{n}=d_{1},  \tag{7}\\
%c_{22} x_{2}+\cdots+c_{2 n} x_{n}=d_{2}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%c_{n n} x_{n}=d_{n},
%\end{array}\right.
%\]
%其中 $c_{i i} \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$. 由最后一个方程开始， $x_{n}, x_{n-1}, \cdots, x_{1}$ 的值就可以逐个地唯一地决定了。 在这个情形， 方程组 (7) 也就是方程组 (1) 有唯一的解。
%
%
%
%\begin{example}%例1 
%上面讨论过的方程组
%\[
%\left\{\begin{array}{l}
%2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1, \\
%4 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}=4 \\
%2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=5 .
%\end{array}\right.
%\]
%经过一系列初等变换后，它变成了阶梯形方程组
%\[
%\left\{\begin{aligned}
%2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =1 \\
%4 x_{2}-x_{3} & =2, \\
%x_{3} & =-6 .
%\end{aligned}\right.
%\]
%把 $x_{3}=-6$ 代入第二个方程， 得
%\[
%x_{2}=-1.
%\]
%再把 $x_{3}=-6, x_{2}=-1$ 代入第一个方程， 即得
%\[
%x_{1}=9.
%\]
%这就是说，上述方程组有唯一的解 $(9,-1,-6)$.
%\end{example}
%
%
%2. $r<n$. 这时阶梯形方程组为
%\[
%\left\{\begin{array}{c}
%c_{11} x_{1}+c_{12} x_{2}+\cdots+c_{1 r} x_{r}+c_{1, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{1 n} x_{n}=d_{1}, \\
%c_{22} x_{2}+\cdots+c_{2 r} x_{r}+c_{2, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{2 n} x_{n}=d_{2}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%c_{r r} x_{r}+c_{r, r+1} x_{r+1}+\cdots+c_{r n} x_{n}=d_{r},
%\end{array}\right.
%\]
%其中 $c_{i i} \neq 0, i=1,2, \cdots, r$. 把它改写成
%\[
%\left\{\begin{align*}
%c_{11} x_{1}+c_{12} x_{2}+\cdots+c_{1 r} x_{r} & =d_{1}-c_{1, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_{1 n} x_{n},  \tag{8}\\
%c_{22} x_{2}+\cdots+c_{2 r} x_{r} & =d_{2}-c_{2, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_{2 n} x_{n}, \\
%& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
%c_{r r} x_{r} & =d_{r}-c_{r, r+1} x_{r+1}-\cdots-c_{r n} x_{n} .
%\end{align*}\right.
%\]
%由此可见，任给 $x_{r+1}, \cdots, x_{n}$ 一组值， 就唯一地定出 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r}$ 的值， 也就是定出方程组 (8) 的一个解。一般地，由 (8) 我们可以把 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r}$ 通过 $x_{r+1}, \cdots, x_{n}$ 表示出来， 这样一组表达式称为方程组 (1) 的一般解， 而 $x_{r+1}, \cdots, x_{n}$ 称为一组自由未知量。
%
%
%
%\begin{example}%例2 
%解方程组
%\[
%\left\{\begin{array}{l}
%2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1  \tag{9}\\
%4 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}=4 \\
%2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}=-1 .
%\end{array}\right.
%\]
%用初等变换消去 $x_{1}$, 得
%\[
%\left\{\begin{aligned}
%2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =1, \\
%-x_{3} & =2, \\
%x_{3} & =-2 .
%\end{aligned}\right.
%\]
%再施行一次初等变换，得
%\[
%\left\{\begin{aligned}
%2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =1 \\
%x_{3} & =-2 .
%\end{aligned}\right.
%\]
%改写一下，得
%\[
%\left\{\begin{aligned}
%2 x_{1}+3 x_{3} & =1+x_{2}, \\
%x_{3} & =-2 .
%\end{aligned}\right.
%\]
%最后得
%\[
%\left\{\begin{array}{l}
%x_{1}=\frac{1}{2}\left(7+x_{2}\right), \\
%x_{3}=-2 .
%\end{array}\right.
%\]
%这就是方程组 (9) 的一般解，其中 $x_{2}$ 是自由未知量。
%\end{example}
%
%从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形不一定就是 (6) 的样子， 但是只要把方程组中的某些项调动一下总可以化成 (6)的样子。
%
%应该看到， $r>n$ 的情形是不可能出现的。
%
%以上就是用消元法解线性方程组的整个过程。 总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式 “ $0=0$ ” (如果出现的话) 去掉。 如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解。 在有解的情况下， 如果阶梯形方程组中方程的个数 $r$ 等于未知量的个数， 那么方程组有唯一的解; 如果阶梯形方程组中方程的个数 $r$ 小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解。
  \begin{frame}
显然我们对线性方程组 (1) 做初等变换的过程是在系数$a_{ij}$和常数$b_i$上操作。
\pause
更准确地说，我们是对矩阵
\begin{equation}
  \left(\begin{array}{ccccc}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1}  \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} & b_{s}
\end{array}\right)
\end{equation}
  做初等变换（实际上矩阵上的初等变换就是从解线性方程组的初等变换，或者说，消元，引入的）。
  \pause
上述矩阵称为线性方程组 (1) 的\emph{增广矩阵}。 
矩阵
\[
  A=\begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}\\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
    a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} 
    \end{pmatrix},\quad \beta=\begin{pmatrix}
    b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_s
  \end{pmatrix}
\]
分别称为线性方程组 (1) 的\emph{系数矩阵}和\emph{常数列}，
\pause
此时增广矩阵就是$\begin{pmatrix}
A & \beta
\end{pmatrix}$.
对一个矩阵做一系列的初等行变换我们也称为\emph{行化简}或 \emph{Gauss消元}。
\end{frame}

\begin{frame}

若增广矩阵$\begin{pmatrix}
A & \beta
\end{pmatrix}$被行化简成了矩阵
\[\small
\begin{pmatrix}
A' & \beta'
\end{pmatrix}=  \left(\begin{array}{ccccc}
    a'_{11} & a'_{12} & \cdots & a'_{1 n} & b'_{1}  \\
  a'_{21} & a'_{22} & \cdots & a'_{2 n} & b'_{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a'_{s 1} & a'_{s 2} & \cdots & a'_{s n} & b'_{s}
\end{array}\right), 
\]
那么由初等变换不改变线性方程组的解集可知
线性方程组 (1) 与线性方程组
\begin{equation}\label{002}\small
  \left\{\begin{array}{c}
    a'_{11} x_{1}+a'_{12} x_{2}+\cdots+a'_{1 n} x_{n}=b'_{1},  \\
  a'_{21} x_{1}+a'_{22} x_{2}+\cdots+a'_{2 n} x_{n}=b'_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a'_{s 1} x_{1}+a'_{s 2} x_{2}+\cdots+a'_{s n} x_{n}=b'_{s}
\end{array}\right.
\end{equation}
同解。

\pause
那么，把增广矩阵$\begin{pmatrix}
A & \beta
\end{pmatrix}$行化简到什么地步才能达到解出方程组的目地呢？
\pause
从我们上面讨论的做初等变换再回代求解的过程可以发现，增广矩阵被逐步地化简为了一个阶梯形。
若一个线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，就称该线性方程组为\emph{阶梯形线性方程组}）。
经验告诉我们，我们是把线性方程组消元成阶梯形线性方程组来求解的。
我们已经证明了矩阵都可以被行化简为阶梯形。
实际上，我们解线性方程组的过程就是构造增广矩阵，然后行化简到阶梯形，最后再回代求解 (有解时) 的过程。
\pause
下面我们就从阶梯形出发来讨论下线性方程组的解的情形。
%显然，用初等变换化方程组 (1) 成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵 (10) 成阶梯形矩阵。 因此， 解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行， 而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解， 在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。

\pause
假设增广矩阵$\begin{pmatrix}
    A & \beta
  \end{pmatrix}$被化简成了阶梯形$\begin{pmatrix}
    A' & \beta'
  \end{pmatrix}$. 我们从例子来看下解的情况。
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
  设
\[
  \begin{pmatrix}
      A' & \beta'
  \end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cccc|c}
    2 & 6 & 1 & 1 & -2\\
    0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & b'_3
  \end{array}\right).
\]
\pause
若$b'_3\neq 0$, 最后一个方程为$0\cdot x_1+0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 +0\cdot x_4= b_3'$, 即$0=\text{非零数}$, 显然无解。
\pause
若$b'_3=0$, 则原线性方程组与下面的线性方程组同解（忽略恒成立的方程$0=0$）
\[
  \left\{
  \begin{array}{rrrrl}
      2x_1& +6x_2&  +x_3 & +x_4&= -2,\\
    & & -x_3 & +2x_4&= 1
  \end{array}\right.\quad
  \pause
  \text{或} \quad
  \begin{cases}
    x_1=\frac{1}{2}(-2-6x_2-x_3-x_4),\\
    x_3=2x_4-1.
  \end{cases}
\]
\pause
显然可任取$x_2, x_4$, 之后$x_1, x_3$唯一地被确定。令$x_2=a,x_4=b$,
回代可依次解得
\[
  x_3=2b-1,\quad x_1=\frac{1}{2}(-2-6a-3b+1). 
\]
\pause
这样该线性方程组的通解为（其中$a,b\in P$为任意数）
\[
  \begin{cases}
    x_1 = \frac{1}{2}(-2-6a-3b+1)\\
    x_2 = a\\
    x_3 = 2b-1\\
    x_4 = b.
  \end{cases}
\]

\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

一般的结论如下：

\begin{theorem}\label{1A7}
  设$M'=\begin{pmatrix}
    A' & \beta'
  \end{pmatrix}$为阶梯形矩阵，其中$A'$为$s\times n$矩阵，且有$r$个非零行。
  \pause
  \begin{enumerate}
    \item  线性方程组~\eqref{002}~有解当且仅当$M'$中最后一个非零行（非零行指元素不全为$0$的行）不是形如
  \[
    \begin{pmatrix}
        0 & \cdots & 0 & b'
        \end{pmatrix}.
      \]

      \vspace{-.5em}
      \pause
    \item 
  设线性方程组~\eqref{002}~有解。
  那么解唯一当且仅当$r=n$ (亦即 $A'$中非零行的第一个非零数占满$A'$的列)。 
  \pause
  否则，即$r<n$ (或者说，$A'$中非零行的第一个非零数未占满$A'$的列) 时，
  解不唯一 (实际上无限多)，
  \pause
  此时对$j\in J$, 可任取$x_j$, 且取定这组未知量的值得到的部分解唯一地延拓为一个解
  (对$j\in J'$, $x_j$被唯一地决定，进而得到一个解)，其中指标集$J', J$如下定义：
    \[
      \begin{aligned}
        J'&=  \{j\mid 1\leqslant j \leqslant n, \text{~$A'$中某个非零行的第一个非零数落在第$j$列}\}, \\
        J&= \{1,2,\cdots,n\}\setminus J'\\
        &= \{j\mid 1\leqslant j \leqslant n, \text{~$A'$中任何一个非零行的第一个非零数都不落在第$j$列}\}
      \end{aligned}
    \]
    (注意到$\sharp J'=r$, $\sharp J=n-r$).
  \end{enumerate}
  \label{101}
\end{theorem}

\pause
有解时，$x_j$ ($j\in J$) 称为\emph{自由未知量}，这些$x_j$构成一组标准的自由未知量。
自由未知量的个数为$\sharp J=n-r$ 
(若把有唯一解的情形想成自由未知量个数为零的情形，这包含了有唯一解的情形)。
实际上，自由未知量取定后，我们可回代得到通解。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}%例3 
  解线性方程组
\(
  \left\{\begin{array}{l}
    2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1, \\
  4 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}=4, \\
2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}=0 .
\end{array}\right.
\)
\end{example}
\pause
\begin{solution}
行化简它的增广矩阵可得
\[
  \left(\begin{array}{rrr|r}
        2 & -1 & 3 & 1 \\
        4 & -2 & 5 & 4 \\
      2 & -1 & 4 & 0
  \end{array}\right) \xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}\left(\begin{array}{rrr|r}
      2 & -1 & 3 & 1 \\
    0 & 0 & -1 & 2 \\
  0 & 0 & 1 & -1
\end{array}\right) \xrightarrow{r_3+r_2} \left(\begin{array}{rrr|r}
    2 & -1 & 3 & 1 \\
  0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]
\pause
从最后一行 $\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ 可以看出原方程组无解。
\end{solution}

\pause
对于无解的线性方程组，可能化简几步后就遇到一个 $0=a$ (其中$a\neq 0$是常数) 这样的方程，这样立刻可知无解。

\pause
\begin{example}
    解线性方程组
  \(
    \left\{\begin{array}{l}
          2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1 \\
          4 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3}=4 \\
        2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=5 .
  \end{array}\right.
\)
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{solution}
我们行化简其增广矩阵至阶梯形：
\[\small
  \begin{aligned}
  \left(\begin{array}{rrr|r}
    2 & -1 & 3 & 1 \\
  4 & 2 & 5 & 4 \\
2 & 1 & 2 & 5
\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}\left(\begin{array}{rrr|r}
  2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 4 & -1 & 2 \\
0 & 2 & -1 & 4
\end{array}\right) \xrightarrow[r_3-2r_2]{r_2\leftrightarrow r_3} 
\left(\begin{array}{rrr|r}
  2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & -1 & 4 \\
0 & 0 & 1 & -6
\end{array}\right).
\end{aligned}
\]
\pause
这样我们得到了与原方程组同解的阶梯形线性方程组
\[
  \left\{ 
    \begin{array}[]{rrrl}
      2x_1 & -x_2 & + 3x_3 &= 1\\
      & 2x_2 & -x_3 &=4 \\
      & & x_3 &= -6.
    \end{array}
  \right.
\]
\pause
回代可依次解得
\[
  x_3=-6,\quad  x_2=\frac{1}{2}(x_3+4)=-1,\quad x_1 = \frac{1}{2}(1+x_2-3x_3)=9.
\]
所以该线性方程组有唯一解
$(x_1,x_2,x_3)=(9,-1,-6)$.
\end{solution}
\pause

\begin{example}\label{1BD}
      解线性方程组
      \(
      \left\{\begin{array}{l}
        2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1 \\
      4 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}=4 \\
    2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}=-1 .
\end{array}\right.
\)
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}
我们行化简其增广矩阵至阶梯形：
\[\small
  \begin{aligned}
  \left(\begin{array}{rrr|r}
    2 & -1 & 3 & 1 \\
    4 & -2 & 5 & 4 \\
  2 & -1 & 4 & -1
  \end{array}\right) 
  \xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}
  \left(\begin{array}{rrr|r}
  2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -2
\end{array}\right) \xrightarrow{r_3+r_2} 
\left(\begin{array}{rrr|r}
  2 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right).
\end{aligned}
\]
\pause
这样我们得到了与原方程组同解的阶梯形线性方程组
\[
  \left\{ 
    \begin{array}[]{rrrl}
      2x_1 & -x_2 & + 3x_3 &= 1\\
      & & -x_3 &=2. \\
    \end{array}
  \right.
\]
其中$x_2$为自由未知量。任取$x_2=a$, 然后回代可依次解得
  \[
    x_3=-2,\quad x_1=\frac{1}{2}(1-3x_3+x_2)=\frac{7+a}{2}.
  \]
  \pause
所以该线性方程组的通解为（其中$a\in P$为任意数）
\[
  (x_1,x_2,x_3)=\left(\frac{7+a}{2}, a, -2\right).
\]
\end{solution}
\pause
当解不唯一时，课本上表示一般的解的形式与上面不同。
课本上的表示形式是用自由未知量表出其他未知量，并称此形式为\emph{一般解}。
如上例的一般解是
\(
  \begin{cases}
    x_1= \frac{7+x_2}{2}\\
    x_3= -2.
  \end{cases}
\)
\end{frame}



\begin{frame}{既约的阶梯形}
  容易发现矩阵的阶梯形并不唯一；对我们的很多计算，只要是阶梯形就足够了。
  尽管不唯一，同一个矩阵的阶梯形有一些信息是公共的。
  实际上，我们的行化简可以更彻底，化简至所谓的既约的阶梯形。
  既约的阶梯形是唯一的，由此可知阶梯形的公共信息。

  \pause
\begin{theorem}
    每个矩阵都可通过行化简达到如下的形式：
    \begin{equation}
        \vcenter{\hbox{
    \begin{tikzpicture}
      \matrix (magic) [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=),ampersand replacement=\&]
        {
            0 \& \cdots \& 0 \& \node (s1) {{1}}; \& * \& \cdots \& * \& 0 \& * \& \cdots \& * \& 0 \& * \& \cdots \& * \& \cdots \& 0 \& * \& \cdots \& *\\
            \&\&\& \node (s2) {\phantom{1}}; \& \& \& \&  \node (s3) {{1}};  \& * \& \cdots \& * \& 0 \& * \& \cdots \& * \& \cdots \& 0 \& * \& \cdots \& * \\
            \&\&\& \& \& \& \& \node (s4) {\phantom{1}}; \& \& \& \&  \node (s5) {{1}}; \& * \& \cdots \& * \& \cdots\& 0 \& * \& \cdots \& *\\
            \&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\& \node (s6) {\phantom{1}}; \&\& \node (s7) {\phantom{1}}; \&\& \ddots \& \vdots \& \vdots \&  \& \vdots\\
                \&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\& \&\& 1 \& * \& \cdots \& *\\
\node (h1) {\phantom{0}}; \&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\&\& \& \& \&\& \&\node (h2) {\symbf{0}};\\
        };
        \draw  (h1.north west) -- (h2.north east);
        \draw [dotted] (s1.north west) -- (s2.north west) -- (s3.north west) -- (s4.north west)
        -- (s5.north west) -- (s6.north west) -- (s7.north west);
    \end{tikzpicture}
}},
\end{equation}
其中大片的空白表示$0$, 右下角的$\symbf{0}$表示落在最后的可能存在的一些零行，$*$表示任意数。
其特征为：
\begin{enumerate}
    \item 若有零行则这些零行落在最后几行；
    \item 非零行的第一个非零元素为$1$, 称为\emph{主元} (pivot)；
    %\item 第$i+1$行的主元在第$i$行的主元的右边；
    \item 主元的上方和下方的元素都是$0$. %(由(iii)知主元下方的元素也是$0$).
\end{enumerate}
    \label{16B}
\end{theorem}

\end{frame}

\begin{frame}
定理~\ref{16B}~中行化简达到的形式称为所给矩阵的\emph{既约的阶梯形} (reduced row echelon form)。
\pause
我们知道矩阵可行化简为阶梯形，容易发现{\verify}进一步行化简可变为既约的阶梯形。
\pause
给定的矩阵能行化简到的既约的阶梯形是唯一的，此唯一性在\S3中作为练习~\ref{199}~留给读者证明。
\pause
由阶梯形行化简至既约的阶梯形的化简过程和既约的阶梯形的唯一性可以发现：

\begin{enumerate}
  \item 阶梯形中的非零行的数目等于既约的阶梯形中主元的个数，因而是唯一确定的（实际上就是\S4中要讲的秩）。
    \pause
  \item 阶梯形中非零行的第一个非零数所在的列是唯一确定的。
\end{enumerate}
我们并不显式地用到这样的唯一性，不过意识到这点是有益的。

\pause
线性方程组解的情况可如下用既约的阶梯形描述（特别地，我们可得定理~\ref{1A7}）：
\begin{theorem}
  设$M'=\begin{pmatrix}
    A' & \beta'
  \end{pmatrix}$为既约的阶梯形，其中$A'$为$s\times n$矩阵，且有$r$个非零行 ($A'$中主元的个数也是$r$)。
  \begin{enumerate}
    \item 线性方程组~\eqref{002}~有解当且仅当$M'$中最后一列$\beta'$中没有主元。
    \item 设线性方程组~\eqref{002}~有解。那么解唯一当且仅当$r=n$ (显然这相当于$A'$中每一列都有主元)。
      否则，即$r<n$ (或者说，并非$A'$的每一列都有主元)时， 解不唯一 (实际上无限多)。
      此时若$A'$中第$j$列没有主元，$x_j$可随意取，且这$n-r$个自由未知量取定得到的部分解唯一地延拓为一个解。
      实际上，若第$j$列有主元，此主元所在行对应的方程确定了$x_j$.
    这样，$r<n$时线性方程组~\eqref{002}~的通解由任意地取定这$n-r$个自由未知量后确定。
\end{enumerate}
  \label{18D}
\end{theorem}

\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof}
    若最后一列$\beta'$中有主元，则有个方程$0=1$, 故方程组无解。现在设最后一列$\beta'$中没有主元。
    \pause
  若$r=n$, 则$M'=\begin{pmatrix}
    A' & \beta'
  \end{pmatrix}$形如 
  \[\small
    \left(\begin{array}{cccc|c}
    1 & 0 & \cdots & 0   & b_1' \\
    0 & 1 & \cdots & 0 & b_2' \\
    \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots \\
    0 &  0 & \cdots & 1 & b_r'\\
    &&&\symbf{0} & \symbf{0}
\end{array}\right).
\]
(最后一行表示可能存在的一些零行，相应地，一些$0=0$的方程。)
显然这告诉我们所给线性方程组有唯一解$x_1=b_1',x_2=b_2',\cdots,x_r=b_r'$. 
\pause
现在考虑$r< n$. 设第$1, \cdots, r$个非零行中主元分别在第$j_1, \cdots, j_r$列。
为了记号的简单， 我们交换相应的线性方程组的每个方程中$x_1$与$x_{j_1}$的位置 (带上系数, 后同)，$x_2$与$x_{j_2}$的位置，\ldots,
$x_r$与$x_{j_r}$的位置，然后把$x_{j_1}, x_{j_2}, \cdots, x_{j_r}, \cdots $
想成新的未知量$x_1, x_2, \cdots, x_r, \cdots$
(为了记号简单，我们不引入新的记号了)。
相应地，$M'$中主元所在的列被交换为前$r$列，故 (新的) $M'=\begin{pmatrix}
    A' & \beta'
  \end{pmatrix}$形如
\[\small
\left(\begin{array}{ccccccc|c}
    1 & 0 & \cdots & 0 & a_{1,r+1}' & \cdots & a_{1n}'    & b_1' \\
    0 & 1 & \cdots & 0& a_{2,r+1}' & \cdots & a_{2n}'  & b_2' \\
    \vdots & \vdots &  & \vdots& \vdots & & \vdots & \vdots \\
    0 &  0 & \cdots & 1 & a_{r,r+1}' & \cdots & a_{rn}' & b_r'\\
    &&&&& &\symbf{0} & \symbf{0}\\
\end{array}\right).
\]
  \end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    此时的阶梯形线性方程组为
    \[
      \left\{ 
        \begin{array}[]{rrrrrrrc}
          x_1 & & & & +a_{1,r+1}'x_{r+1}  & +\cdots & +a_{1n}'x_n    &= b_1'\\
          & x_2 & &  & + a_{2,r+1}'x_{r+1} & +\cdots & +a_{2n}'x_n  &= b_2' \\
     &  & \ddots &  & \vdots & & \vdots & \vdots \\
     &  & & x_r & + a_{r,r+1}'x_{r+1} & +\cdots & +a_{rn}'x_n &= b_r'.
        \end{array}
      \right.
    \]
    任取$x_{r+1}=c_{r+1},\cdots, x_n=c_{n}$, 其中$c_{r+1}, \cdots, c_n\in P$为任意数，
    再对$1\leqslant i\leqslant r$, 令
    \[
      x_i = b_i' - a_{i, r+1}' c_{r+1} - \cdots - a_{in}' c_n.
    \]
    这样我们得到了一个解；而且，显然所有解都可如此得到。因此$x_{r+1}, \cdots, x_n$为一组自由未知量，
    它们的自由取值给出的部分解唯一地延拓为一个解。
    相应地，在交换未知量的位置前的线性方程组中，
    去掉$x_{j_1}, \cdots, x_{j_r}$后剩下的未知量构成一组自由未知量，
    这$n-r$个未知量的自由取值给出的部分解唯一地延拓为一个解。
    \pause
由上述讨论可知，$\beta'$中没有主元时确实总是有解，且在$r=n$时解唯一，而在$r<n$时解不唯一，
自由未知量的个数为$n-r$.
  \end{proof}



%\begin{proof*}[定理~\ref{18D}~的证明]
%  若最后一列$\beta'$中有主元，则有个方程$0=1$, 故方程组无解。现在设最后一列$\beta'$中没有主元。
%  令$r$为$A'$中非零行的个数，这也是$A'$中主元的个数。
%  此时可设
%  \[\small
%      \beta'=\begin{pmatrix}b_1' \\ b_2' \\ \vdots \\ b_r' \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}.
%  \]
%如果$A'$中每一列都有主元，则$r$等于$A'$的列数，且$A'$形如
%$\begin{pmatrix}
%  E_r\\0
%\end{pmatrix}$.
%此时显然方程组~\eqref{002}~有唯一解$x_1=b_1',x_2=b_2',\cdots,x_r=b_r'$. 
%我们接着考虑$A'$并非每一列都有主元的情形。设$A'=(a_{ij})$, 且
%$A'$ 的第 $i$ 行 ($1 \leqslant i \leqslant r$) 的主元在第 $j_i$ 列。
%那么由既约的阶梯形的特征知对$1 \leqslant i \leqslant r$有
%\[
%    a_{ij} = 0\quad (1 \leqslant j < j_i), \qquad a_{ij_i} = 1\quad\text{(主元)},\qquad a_{ij_k}=0\quad(k\neq i).
%\]
%  令 $J = \{1, 2, \cdots, n\}\setminus \{j_1 , j_2 , \cdots, j_r \}$, 这是非空集合。
%  $A'$ 的第 $i$ 行 ($1 \leqslant i \leqslant r$) 给出的方程为
%\begin{equation*}\tag{$*$}
%x_{j_i} + \sum_{\substack{j>j_i\\ j\in J}} a_{ij} x_j = b_i'.
%\end{equation*}
%\end{proof*}

\end{frame}
\begin{frame}
%  \begin{proof*}[定理~\ref{18D}~的证明 (续)]
%    对于每个这样的方程，$j\in J$时$x_j$可随意取 (其余的方程都是$0=0$, 可以忽略)。
%    一旦这些$x_j$取定后方程组的解就确定了，因为$x_{j_i}$可由方程($*$)确定。
%    不仅如此得到的$x_1,\cdots,x_n$满足每个方程，从而给出一个解，而且显然所有解都可如此得到。
%\end{proof*}
%
\pause
如果我们把增广矩阵行化简到既约的阶梯形，那么我们不必回代，可直接读出通解。

\pause
\begin{example}
  考虑例~\ref{1BD}。增广矩阵的既约的阶梯形为
  \[
    \left( 
      \begin{array}[]{rrr|r}
1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{7}{2} \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
      \end{array}
    \right).
  \]
  所以所给线性方程组与下面的线性方程组同解
  \[
    \left\{ 
      \begin{array}[]{rrrl}
        x_1 & -\frac{1}{2}x_2 & &= \frac{7}{2}\\
        && x_3&= -2.
      \end{array}
    \right.
  \]
  任取自由未知量$x_2=a$ ($a\in P$为任意数) 后可知
  \[
    x_1=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}a,\quad  x_2=a, \quad x_3=-2.
  \]
\end{example}
显然齐次线性方程组初等变换后还是齐次线性方程组。
所以不管如何行化简齐次线性方程组的增广矩阵，得到的$\beta'$都是零列。
所以我们只用行化简系数矩阵即可（记着常数列始终为零）。
\end{frame}


\begin{frame}

把以上讨论得到的解的情况应用到齐次线性方程组%
\footnote{
    对于齐次线性方程组$f_1=0, \cdots, f_s=0$ (其中$f_1,\cdots,f_s$为$1$次齐次多项式），
      其系数矩阵行化简得到的既约的阶梯形实际上给出了理想$(f_1, \cdots, f_s)$
      的既约的Gr\"obner基。
      \textbf{参考文献}：Cox-Little-O'Shea, \emph{Ideals, Varieties and Algorithms}, Chapter 2, \S7.
}，可得

\begin{theorem}%定理1 
  \label{015}
在齐次线性方程组
\[
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
\]
中， 如果 $s<n$, 那么它必有非平凡解。
\footnote{几何上看，仿射空间$\symbf{A}^{n+1}$中$r$个 ($r<n+1$) 过原点的超平面有非平凡的交点。
更一般地，若基域代数闭，$r$个 ($r\leqslant n$) 齐次多项式在$n$维射影簇上有公共零点。}
\end{theorem}

\pause

\begin{proof}
显然，增广矩阵在化简为阶梯形之后，阶梯形矩阵中非零行的数目 $r$ 不会超过原矩阵的行数，
或者说，
方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数 $r$ (不计入$0=0$这样的方程) 不会超过原方程组中方程的个数， 亦即
$r \leqslant s<n.$
由 $r<n$ 得知， 它的解不是唯一的， 因而必有非零解。
\end{proof}
\end{frame}



\begin{frame}{Cramer法则及其逆定理}
  当方程组的系数矩阵是方阵时，我们可得Cramer法则（不包括求解公式）及其逆定理。
  \begin{theorem}%定理6 
    [克拉默法则及其逆定理]\label{125}
    线性方程组
\[
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \tag{5}\\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}
\end{array}\right.
\]
有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵
\[
  A=\left(\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
\]
的行列式 $| A| \neq 0$.
\end{theorem}
\end{frame}




\begin{frame}

%当方程组的系数矩阵是方阵时，上面关于矩阵秩的结论还有些重要的推论。

齐次线性方程组总有零解，故其有唯一解相当于只有零解。
这样，把Cramer法则及其逆定理应用到齐次线性方程组可知
\begin{theorem}%定理5 
  \label{19C}
齐次线性方程组
\[
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0,  \tag{4}\\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0
\end{array}\right.
\]
有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵
\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
\]
的行列式 $| A|=0$; 方程组 (4) 只有零解的充分必要条件是 $| A| \neq 0$.
\end{theorem}


%\pause
%\begin{proof}
%方程组 (4) 有非零解 当且仅当$A$ 的列向量组线性相关，
%而方程组 (4) 只有零解 当且仅当 $A$的列向量组线性无关。
%再利用上面的推论~\ref{169}, 定理可得证。 
%\end{proof}

\pause
要证明克拉默法则及其逆定理，首先注意到
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lemma}\label{168}
    若$n$阶方阵$M$是既约的阶梯形，则要么$M$是单位矩阵，要么$M$的最后一行为零行。
  \end{lemma}

  \pause
  \begin{proof*}[引理~\ref{168}~的证明]
     因为若$M$的最后一行不是零行，则主元有$n$个，从而占满所有列，这样$M$是单位矩阵。
   \end{proof*}

  \pause
  \begin{proof*}[定理~\ref{125}~的证明]
回忆下不断地做初等行变换对行列式的效果是乘了一个非零数，故条件$|A|\neq 0$不随行化简改变。
由于行化简不改变解集(引理~\ref{133})，解的情况也不随行化简改变。
  因此，通过行化简增广矩阵可设增广矩阵$M=\begin{pmatrix}
    A & \beta
  \end{pmatrix}$为既约的阶梯形。
  由定理~\ref{18D}~知解唯一地存在当且仅当$r=n$,
  其中$r$为$A$中非零行的个数。
  显然$r<n$时$|A|=0$, $r=n$时$|A|\neq 0$. 这样
  解唯一地存在当且仅当$|A|\neq 0$.
%充分性是克拉默法则， 属于已证明的结论（我们还没证）。
%必要性。 设方程组 (5) 有唯一解 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$, 考查与它相应的齐次线性方程组 (4). 若它有非零解 $\left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}\right)$, 易验证 $\left(c_{1}+d_{1}, c_{2}+d_{2}, \cdots, c_{n}+d_{n}\right)$ 也是 (5) 的解， 且与 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$ 不相等。 这与 (5) 有唯一解矛盾， 故方程组 (4) 只有零解， 由定理~\ref{19C}~得 $| A| \neq 0$.
\end{proof*}

\pause
\begin{example}
  讨论$\lambda$取何值时下面线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解，并在有解时给出解：
\setlength{\arraycolsep}{2pt}
\[
  \left\{
\begin{array}{rrrl}
(\lambda+3)x_1 & + x_2 & + 2x_3&= \lambda\\
\lambda x_1 & +(\lambda-1)x_2 & +x_3 &= 2\lambda\\
3(\lambda+1)x_1  & +\lambda x_2 &+(\lambda+3)x_3 &=  3\lambda.
\end{array}
\right.
\]
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{solution}
%  我们试着把增广矩阵化简至阶梯形（要用到带余除法）：
%  \[\small
%  \begin{aligned}
%  \left(\begin{array}{ccc|c}
%        \lambda +3 & 1 & 2 & \lambda \\
%      \lambda & \lambda-1 & 1 & 2\lambda \\
%      3(\lambda+1) & \lambda & \lambda+3 & 3\lambda
%  \end{array}\right) 
%  \xrightarrow[r_3-r_1-2r_2]{r_1-r_2} &
%    \left(\begin{array}{ccc|c}
%      3 & 2-\lambda & 1 & -\lambda \\
%      \lambda & \lambda-1 & 1 & 2\lambda \\
%      0 & -\lambda +1 & \lambda -1 & -2\lambda 
%    \end{array}\right) \\
%    \xrightarrow[r_2+r_1\times (-\lambda)]{r_2\times 3} &
%    \left(\begin{array}{ccc|c}
%      3 & 2-\lambda & 1 & -\lambda \\
%       & \lambda^2+\lambda-3 & 3-\lambda & \lambda^2+6\lambda \\
%       & -\lambda +1 & \lambda -1 & -2\lambda 
%    \end{array}\right) \\
%    \xrightarrow{r_2+r_3\times(\lambda+2)} &
%    \left(\begin{array}{ccc|c}
%      3 & 2-\lambda & 1 & -\lambda \\
%       & -1 & \lambda^2+1 & -\lambda^2+2\lambda \\
%       & -\lambda +1 & \lambda -1 & -2\lambda 
%    \end{array}\right) \\
%     \xrightarrow{r_3+r_2\times(-\lambda+1)}  &
%     \left(\begin{array}{ccc|c}
%      3 & 2-\lambda & 1 & -\lambda \\
%       & -1 & \lambda^2+1 & -\lambda^2+2\lambda \\
%       &  & -\lambda^2(\lambda -1) & \lambda^3-3\lambda^2
%   \end{array}\right).
%  \end{aligned}
%\]
\pause
我们试着把增广矩阵行化简至阶梯形。仔细观察后可发现未知量按照$x_2,x_3,x_1$这样的顺序排时化简更方便。
此时增广矩阵的化简过程如下：
\setlength{\arraycolsep}{4pt}
  \[
  \begin{aligned}
  \left(\begin{array}{ccc|c}
        1 & 2 & \lambda +3  & \lambda \\
        \lambda-1 & 1 & \lambda & 2\lambda \\
        \lambda & \lambda+3 & 3(\lambda+1)& 3\lambda
  \end{array}\right) 
  \xrightarrow[r_2-r_1\times(\lambda-1)]{r_3-r_1-r_2} &
    \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & \lambda +3  & \lambda \\
0 & -2\lambda +3 & -\lambda^2-\lambda+3 & -\lambda^2+3\lambda \\
0 & \lambda & \lambda & 0
    \end{array}\right)  \\
    \xrightarrow[r_3-r_2\times \lambda]{\substack{r_2+2r_3 \\ r_3\times 3}} &   \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & \lambda +3  & \lambda \\
0 & 3 & -\lambda^2+\lambda+3 & -\lambda^2+3\lambda \\
0 & 0 & \lambda^2(\lambda-1) & \lambda^2(\lambda-3)
    \end{array}\right).
  \end{aligned}
\]
\pause
化简后系数矩阵的行列式为$3\lambda^2(\lambda-1)$, 
其中第$1,2,3$列分别为$x_2,x_3,x_1$的系数。
   若$\lambda\neq 0,1$, 则解存在且唯一。写出相应的阶梯形线性方程组后可通过回代可依次解得
    \[
      x_1= \frac{\lambda- 3}{\lambda- 1},\quad
      x_3= \frac{-\lambda+ 3}{\lambda- 1}, \quad
      x_2= \frac{\lambda+ 3}{\lambda- 1}.
    \]
    \pause
  若$\lambda=0$, 化简后的增广矩阵为 
  \[
    \left(\begin{array}{ccc|c}
       1 & 2 & 3 & 0\\
      & 3 & 3 & 0\\
& & 0 & 0
    \end{array}\right).
  \]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
    此时解有无穷多。写出相应的阶梯形线性方程组，任取自由未知量$x_1=a$, 回代可得通解为
    \(
      (x_2,x_3,x_1)=(-a, -a, a),
    \)
    其中 $a\in P$.
  \pause
  若$\lambda=1$, 化简后的增广矩阵的最后一行为$(0,0,0,-2)$, 故该线性方程组无解。
  \pause
总结下就是：\\
(i)   $\lambda\neq 0,1$时，所给线性方程组有唯一解，唯一解为
\[
      (x_1,x_2,x_3) =\left(\frac{\lambda- 3}{\lambda- 1}, \frac{\lambda+ 3}{\lambda- 1}, \frac{-\lambda+ 3}{\lambda- 1}\right).
    \]
\\
  (ii) $\lambda=0$时，所给线性方程组有无穷多解，通解为
  \(
    (x_1,x_2,x_3)=(a, -a, -a),
  \)
其中 $a\in P$任意。
  \\
  (iii) $\lambda=1$时，所给线性方程组无解。
\end{solution}

\pause
上例也可考虑使用Cramer法则(及其逆定理)。易算得系数行列式为$|A|=\lambda^3-\lambda^2$.
故应用Cramer法则知$\lambda\neq 0,1$时解唯一地存在，且可通过求解的公式求出唯一解。
当$\lambda=0$或$1$时所给线性方程组是具体的，容易通过化简增广矩阵来判断解的情况及在有解时求解。
读者请自行尝试。

\pause
\begin{remark}
  在行化简带参数的线性方程组的增广矩阵时，为了避免讨论，我们应尽量不引入带参数的式子的逆 (倒数)；否则，我们就需要分情况讨论。
%像上例这种带参数的线性方程组，其中系数和常数为参数的多项式，请注意到带余除法的可用性 (当然上例很简单)。
实际上，若一个矩阵的元素都是单个符号的多项式 (这样的矩阵在第八章称为$\lambda$-矩阵)，
则该矩阵总可经行化简化为阶梯形，且行化简的过程中不必引入非常数多项式的逆 
(这样的初等变换在第八章称为$\lambda$-矩阵的初等变换)。
这时，应用带余除法做初等变换是基本的操作。
\end{remark}
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 何为线性方程组？何为线性方程组的解？何为两个线性方程组同解？
    \item 何为线性方程组的初等变换？初等变换为何把方程组变成同解的方程组？
    \item 行化简增广矩阵来解线性方程组的过程如何？需要把增广矩阵化简到什么形状？
    \item 如何从增广炬阵行化简得到的阶梯形来判断解的情况？
      有解时何时解唯一何时不唯一？不唯一时自由未知量有多少？
    \item 有解时如何从增广炬阵行化简得到的阶梯形对应的阶梯形线性方程组得到所有解？
    \item 对于齐次线性方程组，方程的个数少于未知量的个数时解的情况如何？
    \item 何为既约的阶梯形？如何从阶梯形行化简至既约的阶梯形？举例说明。
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
